「0.999・・・」から導き出せる驚きの証明とは?

2017年3月13日

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紀元前5世紀頃にピタゴラス教団によって発見された無理数は”全ての数は整数または分数で表せる”という教団の教義に反していたため、あまりに衝撃的なものであったという。間もなくこの事実は隠された。この無理数を発見した者や教団の外部へと口外した者は教団から追放されたか、殺されたともいわれている。

――これは極端な例ではあるが、証明によって導かれる数学的性質には、人々の直感や常識に反するような驚くべき結果をもたらし、困惑させるようなものがある。その中の1つが「0.999・・・」という、小数点以下に「9」が無限に続くような循環小数から導き出せる数学的性質だ。その証明であるが、まず0.999・・・をCと置く。

C=0.999・・・
この式の両辺に10をかけると
10C=9.999・・・
次に,両辺をCで引く。左辺はC,右辺は0.999・・・で引くと
10C-C=9.999・・・-0.999・・・
式を整理して9C=9両辺を9で割って
C=1
C=0.999・・・という前提から
0.999・・・=1

つまり、0.999・・・という数字はちょうど1に等しいのだ。
有名な数学的性質であるので、既に知っている方も多いかもしれない。さらに簡単な証明には0.333・・・=1/3を利用するものがある。この等式に両辺に3をかけることで0.999・・・=1を示すことができる。

この事実は長い間、数学上の性質として 受け入れられてきた。 人々に混乱を与える一方で、極限という概念の理解を助けてくれる例でもある。wikipediaでは他の証明法やこの事実の扱いについて詳しく説明されているので、興味のある方はぜひ参照していただきたい。

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